Naked Statistics es el libro más interesante sobre la ciencia más aburrida

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 03:53

¿Quién dijo que la estadística es una ciencia aburrida e inútil? Charles Wheelan argumenta de manera convincente que esto está lejos de ser el caso. Hoy publicamos un extracto de su libro sobre cómo ganar un auto, no una cabra, usando estadísticas, y entendemos que la intuición puede engañarlo.

El acertijo de Monty Hall

El misterio de Monty Hall es un problema famoso en la teoría de la probabilidad que desconcertó a los participantes en un programa de juegos llamado Hagamos un trato, todavía popular en varios países, que se estrenó en los Estados Unidos en 1963. (Recuerdo cada vez que veía este programa cuando era niño, cuando no iba a la escuela debido a una enfermedad). En la introducción del libro, ya señalé que este programa de juegos puede ser interesante para los estadísticos. Al final de cada uno de sus números, el participante que llegó a la final se paró con Monty Hall frente a tres puertas grandes: Puerta No. 1, Puerta No. 2 y Puerta No. 3. Monty Hall explicó al finalista que detrás de una de estas puertas fue un premio muy valioso, por ejemplo, un automóvil nuevo y una cabra detrás de los otros dos. El finalista tuvo que elegir una de las puertas y conseguir lo que había detrás. (No sé si hubo al menos una persona entre los participantes en el programa que quisiera conseguir una cabra, pero en aras de la simplicidad, asumiremos que la gran mayoría de los participantes soñaba con un auto nuevo).

La probabilidad inicial de ganar es bastante fácil de determinar. Hay tres puertas, dos esconde una cabra y la tercera esconde un automóvil. Cuando un participante en el espectáculo se para frente a estas puertas con Monty Hall, tiene una de cada tres oportunidades para elegir la puerta detrás de la cual se encuentra el automóvil. Pero, como se señaló anteriormente, hay una trampa en Hagamos un trato que inmortalizó este programa de televisión y su presentador en la literatura sobre la teoría de la probabilidad. Después de que el finalista del espectáculo señale una de las tres puertas, Monty Hall abre una de las dos puertas restantes, detrás de la cual siempre hay una cabra. Entonces Monty Hall pregunta al finalista si quiere cambiar de opinión, es decir, abandonar la puerta cerrada previamente seleccionada en favor de otra puerta cerrada.

Digamos, por ejemplo, que el participante señaló la Puerta # 1. Entonces Monty Hall abrió la Puerta # 3, detrás de la cual se escondía la cabra. Dos puertas, la puerta n. ° 1 y la puerta n. ° 2, permanecen cerradas. Si el premio valioso estuviera detrás de la Puerta No. 1, el finalista lo habría ganado, y si estuviera detrás de la Puerta No. 2, entonces habría perdido. Es en este punto que Monty Hall le pregunta al jugador si quiere cambiar su elección inicial (en este caso, abandonar la Puerta # 1 a favor de la Puerta # 2). Por supuesto, recordará que ambas puertas siguen cerradas. La única información nueva que recibió el participante fue que la cabra terminó detrás de una de las dos puertas que no eligió.

¿Debería el finalista abandonar la elección inicial a favor de la Puerta # 2?

Yo respondo: sí, debería. Si se apega a la elección original, entonces la probabilidad de ganar un premio valioso será ⅓; si cambia de opinión y señala la puerta n. ° 2, la probabilidad de ganar un premio valioso será ⅔. Si no me cree, siga leyendo.

Admito que esta respuesta está lejos de ser obvia a primera vista. Parece que cualquiera de las dos puertas restantes que elija el finalista, la probabilidad de recibir un premio valioso en ambos casos es ⅓. Hay tres puertas cerradas. Al principio, la probabilidad de que se esconda un premio valioso detrás de cualquiera de ellos es ⅓. ¿La decisión del finalista de cambiar su elección a favor de otra puerta cerrada hace alguna diferencia?

Por supuesto, ya que el problema es que Monty Hall sabe lo que hay detrás de cada puerta. Si el finalista elige la puerta n. ° 1 y, de hecho, hay un automóvil detrás, Monty Hall puede abrir la puerta n. ° 2 o la puerta n. ° 3 para revelar la cabra que acecha detrás de ella.

Si el finalista selecciona la Puerta 1 y el coche está detrás de la Puerta 2, Monty Hall abrirá la Puerta 3.

Si el finalista apunta a la Puerta 1 y el coche está detrás de la Puerta 3, Monty Hall abrirá la Puerta 2.

Al cambiar de opinión después de que el presentador abre una de las puertas, el finalista obtiene la ventaja de elegir dos puertas en lugar de una. Intentaré convencerle de la exactitud de este análisis de tres formas diferentes.

El primero es empírico. En 2008, el columnista del New York Times John Tyerney escribió sobre el fenómeno de Monty Hall. Después de eso, el personal de la publicación desarrolló un programa interactivo que le permite jugar este juego y decidir de forma independiente si cambia su elección inicial o no. (El programa incluso prevé cabras y coches pequeños que aparecen detrás de las puertas). El programa registra sus ganancias en el caso de que cambie su elección inicial y en el caso de que no esté convencido. Le pagué a una de mis hijas para que jugara este juego 100 veces, cambiando su elección original cada vez. También le pagué a su hermano para que jugara 100 veces, manteniendo la decisión original cada vez. La hija ganó 72 veces; su hermano 33 veces. Cada esfuerzo fue recompensado con dos dólares.

La evidencia de los episodios del juego Let's Make a Deal muestra el mismo patrón. Según Leonard Mlodinov, autor de The Drunkard's Walk, los finalistas que cambiaron su elección inicial tenían aproximadamente el doble de probabilidades de ganar que los que no estaban convencidos.

Mi segunda explicación para este fenómeno se basa en la intuición. Digamos que las reglas del juego han cambiado ligeramente. Por ejemplo, el finalista comienza eligiendo una de las tres puertas: Puerta n. ° 1, Puerta n. ° 2 y Puerta n. ° 3, como se planeó originalmente. Sin embargo, entonces, antes de abrir cualquiera de las puertas, detrás de las cuales se esconde la cabra, Monty Hall pregunta: "¿Aceptas renunciar a tu elección a cambio de abrir las dos puertas restantes?" Por lo tanto, si elige la Puerta n. ° 1, puede cambiar de opinión a favor de la Puerta n. ° 2 y la Puerta n. ° 3. Si señaló la Puerta n. ° 3 primero, puede seleccionar la Puerta n. ° 1 y la Puerta n. ° 2. Y así sucesivamente.

Esta no sería una decisión particularmente difícil para usted: es bastante obvio que debe renunciar a la elección inicial a favor de las dos puertas restantes, ya que esto aumenta las posibilidades de ganar de ⅓ a ⅔. Lo más interesante es que es esto, en esencia, lo que te ofrece Monty Hall en un juego real, tras abrir la puerta detrás de la cual se esconde la cabra. El hecho fundamental es que si tuvieras la oportunidad de elegir dos puertas, una cabra se escondería detrás de una de ellas de todos modos. Cuando Monty Hall abre la puerta detrás de la cual está la cabra y solo entonces te pregunta si estás de acuerdo en cambiar tu elección inicial, ¡aumenta significativamente tus posibilidades de ganar un premio valioso! Básicamente, Monty Hall te está diciendo: "¡Las posibilidades de que un premio valioso se esconda detrás de una de las dos puertas que no elegiste la primera vez son ⅔, que aún es más de ⅓!"

Puedes imaginarlo así. Digamos que señaló la Puerta # 1. Después de eso, Monty Hall le da la oportunidad de abandonar la decisión original a favor de la Puerta # 2 y la Puerta # 3. Está de acuerdo y tiene dos puertas a su disposición, lo que significa que tiene todas las razones esperan ganar un premio valioso con una probabilidad de ⅔, no de ⅓. ¿Qué hubiera pasado si en ese momento Monty Hall hubiera abierto la puerta 3, una de "sus" puertas, y hubiera una cabra detrás de ella? ¿Este hecho afectaría su confianza en su decisión? Por supuesto no. Si el coche se escondía detrás de la puerta 3, ¡Monty Hall abriría la puerta 2! No te mostraría nada.

Cuando el juego se juega de acuerdo con un escenario de imitación, Monty Hall realmente te permite elegir entre la puerta que especificaste al principio y las dos puertas restantes, una de las cuales podría ser un automóvil. Cuando Monty Hall abre la puerta detrás de la cual se esconde la cabra, simplemente te está haciendo un favor al mostrarte cuál de las otras dos puertas no es el auto. Tiene las mismas probabilidades de ganar en los dos escenarios siguientes.

1. Seleccionando la Puerta # 1, luego aceptando “cambiar” a la Puerta # 2 y la Puerta # 3 incluso antes de que se abra cualquier puerta.
2. Seleccionando la Puerta # 1, luego aceptando "cambiar" a la Puerta # 2 después de que Monty Hall te muestre la cabra detrás de la Puerta # 3 (o eligiendo la Puerta # 3 después de que Monty Hall te muestre la cabra detrás de la Puerta # 2).

En ambos casos, abandonar la decisión original le da la ventaja de dos puertas sobre una y, por lo tanto, puede duplicar sus posibilidades de ganar de ⅓ a ⅔.

Mi tercera opción es una versión más radical de la misma intuición básica. Digamos que Monty Hall le pide que elija una de 100 puertas (en lugar de una de tres). Después de hacer esto, digamos que señalando la Puerta # 47, abre las 98 puertas restantes, que revelarán las cabras. Ahora sólo quedan dos puertas cerradas: la puerta número 47 y otra, por ejemplo, la puerta número 61. ¿Debería renunciar a su elección inicial?

¡Por supuesto que sí! Existe una probabilidad del 99 por ciento de que el automóvil esté detrás de una de las puertas que no eligió al principio. Monty Hall le hizo la cortesía al abrir 98 de estas puertas, no había ningún automóvil detrás de ellas. Por lo tanto, solo hay una probabilidad de 1 en 100 de que su elección inicial (Puerta # 47) sea correcta. Al mismo tiempo, existe una probabilidad de 99 sobre 100 de que su elección inicial sea incorrecta. Si es así, entonces el automóvil está ubicado detrás de la puerta restante, es decir, la Puerta No. 61. Si quiere jugar con la probabilidad de ganar 99 de cada 100 veces, entonces debe "cambiar" a la Puerta No. 61.

En resumen, si alguna vez tienes que jugar Let's Make a Deal, definitivamente tendrás que dar marcha atrás en tu decisión original cuando Monty Hall (o quien lo reemplace) te dé una opción. Una conclusión más universal de este ejemplo es que sus conjeturas intuitivas sobre la probabilidad de ciertos eventos a veces pueden inducirlo a error.